Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – 1/2, 1/3, 1/4 – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица. Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:

1. Чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.

2. Выразить результат измерения длины, времени, площади, массы и вести расчеты за товары

Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики «настоящими» считали только аликвотные дроби вида 1/n. Первое понятие дроби появилось в Древнем Египте много веков назад. В русском языке это слово появилось лишь в 8 веке от слов «дробить, разбивать, ломать на части», поэтому в первых учебниках дроби называли «ломанными числами». Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии, а дробная черта появилась в записи дробей лишь 300 лет назад, до этого ставили точку между числителем и знаменателем. Сами названия «числитель» и «знаменатель» ввел в употребление греческий ученый-математик Максим Плануд.

Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка «Попасть в дроби», что означало оказаться в трудном положении.

Аликвотная дробь – это дробь, у которой числитель единица, а знаменатель любое натуральное число: 1/n

Чтобы представить некоторую дробь в виде суммы двух или нескольких аликвотных дробей нужно:

1. Числитель и знаменатель исходной дроби умножить на сумму двух взаимно простых делителей знаменателя;

2. Затем полученную дробь заменяем суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители – слагаемые вышеупомянутой суммы (Пример 1);

3. Если знаменатель – простое число, то умножаем числитель и знаменатель на число, превышающее знаменатель на единицу (Пример 2).

В общем виде этот метод может быть представлен следующей формулой:

1/a = (a + 1)/a(a + 1) = 1/(a + 1) + 1/a(a + 1)

Если в числителе дроби стоить число, отличное от единицы, то количество аликвотных дробей в разложении этой дроби, как правило, не менее трех.

Сначала нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель полученной дроби минимально превышал знаменатель исходной дроби (Пример 3).

Если знаменатель исходной дроби составное число, то операции замены этой дроби суммой аликвотных дробей можно упростить, представив числитель дроби в виде суммы делителей знаменателя, плюс минимально возможный остаток (Пример 4)

Существуют несколько гипотез возникновения шестидесятеричной системы счисления. Наибольшего внимания, по мнению М.Я. Выгодского, заслуживают гипотезы Тюро-Данжена, Нейгебауера и Веселовского. Они рассмотрены в книге Выготского М. Я. “Арифметика и алгебра в древнем мире” (1941, глава 2, параграф 5, стр. 99–104). Кратко об этих гипотезах:

1.Теон Александрийский (конец 4 и начало 5 века н. э.)

Теон полагает, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел.

2.Гипотеза Тюро-Данжена (1932)

Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60.  Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.

3.Гипотеза Нейгебауера (1927)

Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.

4.Гипотеза Веселовского И. Н. (1959)

Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)

5.Гипотеза Кевича (1904)

Кевич предполагает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестеричную систему.

Из гипотез математиков становится ясно, что 60-теричная система возникла на основе ранее существовавшей другой системы счисления. Приведённые выше гипотезы не объясняют, откуда возник позиционный принцип вавилонской нумерации.

Нам кажется, что более вероятной является гипотеза Нейгебауера, потому что людям нужно было считать мины и шекели, чтобы что-то купить. Именно поэтому появилась шестидесятеричная система счисления, чтобы людям легче было считать деньги, ведь естественные потребности людей часто побуждают к изобретению чего-либо, упрощающему жизнь, так, например, произошло и с возникновением шестидесятеричной системой счисления.

Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Наряду с необходимостью считать предметы, у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, ширину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным числом, приходится учитывать и части употребляемой меры.

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли двенадцатеричные дроби, т. е. дроби, у которых знаменатель равен 12. Путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью – весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошёл семь унций пути или прочёл пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути и прочитано 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздробленным двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего их 18 и вот несколько из них:

1. «семис» - половина асса

2. «секстанс» - шестая его доля

3. «семиунция» - половина унции, т. е. 1/24 асса

В устной речи римляне используют поговорки. Одна из них: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос» — это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А слово «скрупулёзно» от римского названия 1/288 асса – «скрупулус».

Из Рима в Англию и США перешли некоторые меры измерения. Например: наверное, одна из самых распространённых единиц измерения, о которой слышали все – миля. Те расстояния, которые мы меряем километрами, в Англии и США принято обозначать милями. Слово миля происходит от латинского mile passuum – тысяча двойных шагов римских солдат в полном облачении на марше. Появилась эта единица ещё в Древнем Риме. Оттуда пришла в Британию, а затем в США. Она равна 1609,34 метра. На дорогах англоязычных странах вы практически повсеместно заметите отметки в милях. Да и скорость машин измеряется в миль/час.

Унция была заимствована у римлян почти всеми европейскими народами и до введения метрической системы мер была самой распространённой в мире единицей веса. Английская унция (т. е. та, которая используется в Англии, США и других странах, использующих неметрическую систему) - ounce - равняется 28,35 г. 16 унций составляют 1 фунт. Также существует такое понятие, как жидкая унция - fluid ounce. Она равна 0,028 л в Британии и 0,03 л в США.  А ещё есть тройская система мер, которая используется для измерения драгоценных металлов. И в ней тройская унция равна 31,1034768 г. Само слово “тройская” происходит от французского города Труа, где впервые стали использовать эту систему.

«Ломаные числа» таким удивительным названием обладают дроби. В русских арифметиках 17 века дроби называли долями, а позднее «ломаными числами».

Одними из представителей «ломаных чисел» являются аликвотные дроби (от лат. – несколько), или египетские.

Аликвотная (египетская) дробь – это сумма нескольких дробей, с числителями равными 1, и знаменателями – отличающимися между собой натуральными числами.

1/4 + 1/5 + 1/10

- аликвотная дробь, может быть записана так же в виде дроби-решения: 11/20

Каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби бесконечным числом способов. В настоящее время египетские дроби продолжают изучать в теории чисел и истории математики.

Нас заинтересовала старинная задача про завещание 17 верблюдов трём сыновьям по 1/2, 1/3, 1/9 каждому. Казалось бы, неразрешимая задача решилась привлечением дополнительного верблюда с последующим возвратом:

1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 18/18

Первый сын получил 9 верблюдов, второй – 6, третий 2 верблюда и чужого вернули хозяину.

Египетские дроби позволяли более рационально делать разделение «неделимого» количества, чтобы не каждый предмет делить на количество получателей.

Изучив примеры таких задач, мы придумали свою.

На праздник в класс купили 5 тортов. В классе 32 ученика. Как разделить торты?

РЕШЕНИЕ

32 ученика + 1 учитель = 33 человека

Чтобы не делить каждый торт на 33 части, представим

5/33 = 3/33 + 2/33 = 1/11 + 2/33, т. е. 3 торта надо разрезать на 11 частей и только 2 торта на 33 части.

Египетские дроби позволяют решать олимпиадные, нестандартные задачи.